{"id":22,"date":"2007-11-06T23:34:50","date_gmt":"2007-11-06T22:34:50","guid":{"rendered":"http:\/\/morony.pl\/index.php\/2007\/11\/06\/mathematica-cz1\/"},"modified":"2007-12-29T17:25:46","modified_gmt":"2007-12-29T16:25:46","slug":"mathematica-cz1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/morony.pl\/?p=22","title":{"rendered":"Mathematica (cz.1)"},"content":{"rendered":"

Znalaz\u0142em dzisiaj za biurkiem zesz\u0142oroczny egzamin z analizy I C. <\/strong>Postanowi\u0142em si\u0119 pobawi\u0107 Mathematic\u0105 i porozwi\u0105zywa\u0107 zadania nie wysilaj\u0105c w\u0142asnej szarej kom\u00f3rki.<\/p>\n

Poniewa\u017c to cz\u0119\u015b\u0107 pierwsza przyk\u0142ady b\u0119d\u0105 banalne, ale daj\u0105ce \u0142adne efekty \ud83d\ude42<\/p>\n

Poni\u017cej podziel\u0119 sie wnioskami z rozwi\u0105zywania drugiego przyk\u0142adu z pi\u0105tego zadania za pomoc\u0105 programu Mathematica. Zadanie da si\u0119 rozwi\u0105za\u0107 od razu wi\u0119c nadprogramowo si\u0119 nim pobawimy (a co za tym idzie pobawimy si\u0119 Mathematic\u0105, a na tym najbardziej nam zale\u017cy).<\/p>\n

Zadanie: nale\u017cy obliczy\u0107 nast\u0119puj\u0105c\u0105 granic\u0119:<\/p>\n

\"005.png\"<\/p>\n

Nic prostszego! Na pocz\u0105tek zdefiniujmy sobie funkcj\u0119, kt\u00f3rej granice b\u0119dziemy liczy\u0107:<\/p>\n

\n

In:= k[x_] = (Sin[x] – Tan[x])\/(x (Cos[x] – 1))<\/font><\/p>\n<\/blockquote>\n

Teraz mo\u017cemy przeprowadza\u0107 r\u00f3\u017cne operacje na tej funkcji. Policzmy granic\u0119, o kt\u00f3r\u0105 pytaj\u0105 nas w zadaniu:<\/p>\n

\n

In:= Limit[k[x], x -> 0]
\nOut:= 1<\/font><\/p><\/blockquote>\n

Jak wida\u0107 granica tej funkcji przy x d\u0105\u017c\u0105cym do zera wynosi 1.<\/p>\n

Niby rozwi\u0105zali\u015bmy zadanie, ale mnie nadal ciekawi jak ta funkcja wygl\u0105da (te trygonometryczne zawsze s\u0105 \u0142adne). Narysujmy wi\u0119c:<\/p>\n

\n

In:= Plot[k[x],{x,-2*Pi,2*Pi}] <\/font><\/p>\n<\/blockquote>\n

Jako wynik otrzymujemy wykres:<\/p>\n

\"wykres01.jpg\"<\/p>\n

Funkcja \u0142adna, rzeczywi\u015bcie d\u0105\u017cy do 1 dla x d\u0105\u017c\u0105cego do 0, ale wykres jeszcze nie bardzo. Poprawmy te pionowe krechy (poprzez wy\u0142\u0105czenie punkt\u00f3w krytycznych z wykresu):<\/p>\n

\n

In:= Plot[k[x],{x,-2*Pi,2*Pi}<\/font>, {Exclusions -> {Tan[x] == 0}}]<\/font><\/p>\n<\/blockquote>\n

Otrzymujemy:<\/p>\n

\"wykres02.jpg\"<\/p>\n

Ju\u017c \u0142adniej, ale zrobi\u0142o sie troch\u0119 “\u0142yso”. Przyda\u0142yby si\u0119 asymptoty:<\/p>\n

\n

In:= Plot[k[x],{x,-2*Pi,2*Pi}<\/font>, {Exclusions -> {Tan[x] == 0}, ExclusionsStyle -> Dashing[Small]}]<\/font><\/p>\n<\/blockquote>\n

Otrzymujemy:<\/p>\n

\"wykres03.jpg\"<\/p>\n

Teraz otrzymali\u015bmy (przez zastosowanie dw\u00f3ch opcji) bardzo \u0142adny wykres funkcji z zadania.<\/p>\n

Funkcje maj\u0105ce \u0142adne wykresy maj\u0105 zazwyczaj \u0142adne pochodne. Ta nie jest wyj\u0105tkiem. Obliczamy pochodn\u0105 funkcji po x:<\/p>\n

\n

In:= D[k[x],x]<\/font><\/p>\n<\/blockquote>\n

Mathematica zwraca nam przepi\u0119kny wz\u00f3r na pochodn\u0105 naszej funkcji:<\/p>\n

\"006.png\"<\/p>\n

Kt\u00f3ry po uproszczeniu (polecenie Simplify[]<\/em>) przyjmuje nast\u0119puj\u0105c\u0105 posta\u0107:<\/p>\n

\"007.png\"<\/p>\n

sec<\/em><\/strong> to secans<\/strong>, czyli stosunek przeciwprostok\u0105tnej i przyprostok\u0105tnej przyleg\u0142ej do k\u0105ta ostrego a wi\u0119c odwrotno\u015b\u0107 cosinusa.<\/p>\n

Narysujmy sobie jeszcze t\u0105 pochodn\u0105:<\/p>\n

\n

In:= Plot[{(x Sec[x]^2 – Tan[x])\/x^2}, {x, -2*Pi, 2*Pi}]<\/font><\/p>\n<\/blockquote>\n

Otrzymany wykres wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n

\"wykres04.jpg\"<\/p>\n

\u0141adny, prawda?<\/p>\n

goto<\/p>\n

\n
<\/blockquote>\n<\/blockquote>\n
<\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Znalaz\u0142em dzisiaj za biurkiem zesz\u0142oroczny egzamin z analizy I C. Postanowi\u0142em si\u0119 pobawi\u0107 Mathematic\u0105 i porozwi\u0105zywa\u0107 zadania nie wysilaj\u0105c w\u0142asnej szarej kom\u00f3rki. Poniewa\u017c to cz\u0119\u015b\u0107 pierwsza przyk\u0142ady b\u0119d\u0105 banalne, ale daj\u0105ce \u0142adne efekty \ud83d\ude42 Poni\u017cej podziel\u0119 sie wnioskami z rozwi\u0105zywania drugiego przyk\u0142adu z pi\u0105tego zadania za pomoc\u0105 programu Mathematica. Zadanie da si\u0119 rozwi\u0105za\u0107 od razu […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/22"}],"collection":[{"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=22"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/22\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=22"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=22"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=22"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}