{"id":37,"date":"2007-11-10T00:26:28","date_gmt":"2007-11-09T23:26:28","guid":{"rendered":"http:\/\/morony.pl\/index.php\/2007\/11\/10\/mathematica-cz2\/"},"modified":"2007-12-29T17:25:21","modified_gmt":"2007-12-29T16:25:21","slug":"mathematica-cz2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/morony.pl\/?p=37","title":{"rendered":"Mathematica (cz.2)"},"content":{"rendered":"<p>Ka\u017cdy fizyk wie, \u017ce \u015bwiat dooko\u0142a naj\u0142atwiej opisa\u0107 r\u00f3wnaniem r\u00f3\u017cniczkowym. Reszta (&#8220;czyli wi\u0119kszo\u015b\u0107 pozostaj\u0105ca w opozycji&#8221;)  zapewne nie wie, \u017ce wzory (np. na ruch wahade\u0142ka czy s\u0142ynnej masy na spr\u0119\u017cynce) wypisywane na \u015bci\u0105gach w liceum i wcze\u015bniej s\u0105 rozwi\u0105zaniami r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych opisuj\u0105cych dany problem.<\/p>\n<p>Z powy\u017cszego powodu (<em>gloryfikacja r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych<\/em>) chcia\u0142bym napisa\u0107 par\u0119 prostych przyk\u0142ad\u00f3w rozwi\u0105zywania r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych za pomoc\u0105 programu Mathematica.<\/p>\n<p>Ponownie si\u0119gn\u0119 po zadanie z kolokwium z I roku. Mamy do rozwi\u0105zania r\u00f3wnanie r\u00f3\u017cniczkowe:<\/p>\n<p align=\"center\"> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/morony.pl\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/f067037edddf6fd024b97ab63f2afd3a.png\" height=\"19\" width=\"112\" \/><\/p>\n<p>Niezbyt skomplikowane r\u00f3wnanie pierwszego rz\u0119du&#8230; da\u0142oby si\u0119 policzy\u0107 nawet w pami\u0119ci, ale po co?<\/p>\n<p>Prosimy Mathematic\u0119 o rozwi\u0105zanie:<\/p>\n<blockquote>\n<p align=\"left\"><font face=\"Courier New\">In:  DSolve[x^2 y'[x] == (y[x])^2 + x y[x], y[x], x]<br \/>\nOut:   y[x] -&gt; x\/(C[1] &#8211; Log[x])<\/font><\/p><\/blockquote>\n<p align=\"left\">Troch\u0119 wyja\u015bnienia o funkcji DSolve. Przyjmuje ona 3 argumenty: r\u00f3wnanie (lub r\u00f3wnania, o czym zaraz), funkcj\u0119 jakiej rozwi\u0105zania szukamy oraz zmienn\u0105 niezale\u017cn\u0105. W naszym przypadku interesuje nas rozwi\u0105zanie postaci funkcji y(x), gdzie x jest zmienn\u0105 niezale\u017cn\u0105. Przy zapisywaniu r\u00f3wna\u0144 nale\u017cy pami\u0119ta\u0107 \u017ce y jest funkcj\u0105 x (nie piszemy y&#8221; tylko y&#8221;[x]).<\/p>\n<p align=\"left\">Mathematica zwr\u00f3ci\u0142a nam rozwi\u0105zanie og\u00f3lne:<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/morony.pl\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/099eafeff7be3e0e3ae4bf47e6a8e28c.png\" height=\"38\" width=\"150\" \/><\/p>\n<p align=\"left\"> W zadaniu poproszono nas jeszcze o rozwi\u0105zanie tego r\u00f3wnania r\u00f3\u017cniczkowego z uwzgl\u0119dnieniem warunku pocz\u0105tkowego:<\/p>\n<p align=\"center\"> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/morony.pl\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/89baaeccdc5268e7532bd11aa3cb483a.png\" height=\"19\" width=\"64\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">Mo\u017cemy to zrobi\u0107 na 2 sposoby:<\/p>\n<ul>\n<li>Podstawi\u0107 x=1 do rozwi\u0105zania og\u00f3lnego i rozwi\u0105za\u0107 r\u00f3wnanie na sta\u0142\u0105 C1<\/li>\n<\/ul>\n<blockquote><p><font face=\"Courier New\">In: Solve[1\/(C1-Log[1])==1,C1]<br \/>\nOut: C1 -&gt; 1<\/font><\/p><\/blockquote>\n<ul>\n<li>Uwzgl\u0119dni\u0107 warunek pocz\u0105tkowy przy rozwi\u0105zywaniu r\u00f3wnania poprzez DSolve (jako pierwszy argument podajemy dwa r\u00f3wnania ujmuj\u0105c je w klamry {} i oddzielaj\u0105c przecinkiem):<\/li>\n<\/ul>\n<blockquote><p><font face=\"Courier New\">In: <\/font><font face=\"Courier New\">DSolve[{x^2 y'[x] == (y[x])^2 + x y[x],y[1]==1}, y[x], x] \/\/Simplify<\/font><br \/>\n<font face=\"Courier New\">Out: y[x]-&gt;x\/(1-Log[x])<\/font><\/p><\/blockquote>\n<p align=\"left\">Jak wida\u0107 obydwie metody prowadz\u0105 nas do tego samego wyniku:<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/morony.pl\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/f8864ba9afbe4ec9f4ad26c8575442b6.png\" height=\"37\" width=\"128\" \/><\/p>\n<p align=\"left\"> Przy bardziej skomplikowanych r\u00f3wnaniach maj\u0105cych wi\u0119cej warunk\u00f3w pocz\u0105tkowych druga metoda okazuj\u0119 si\u0119 by\u0107 zdecydowanie bardziej efektywna.<\/p>\n<p align=\"left\">Ostatni\u0105 rzecz\u0105 o kt\u00f3r\u0105 prosi\u0142 nas autor jest narysowanie otrzymanego rozwi\u0105zania:<\/p>\n<blockquote><p><font face=\"Courier New\">In: <\/font><font face=\"Courier New\">Plot[x\/(1 &#8211; Log[x]), {x, 0, 6}, {Exclusions -&gt; {1 &#8211; Log[x] == 0},<br \/>\nExclusionsStyle -&gt; Dashing[Small], PlotRange -&gt; 50}]<\/font><font face=\"Courier New\"><br \/>\n<\/font><\/p><\/blockquote>\n<p align=\"left\">Otrzymujemy:<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/morony.pl\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/wykres.JPG\" height=\"272\" width=\"450\" \/><\/p>\n<p align=\"left\">Tak wi\u0119c wiemy ju\u017c jak zabra\u0107 si\u0119 za rozwi\u0105zywanie nieskomplikowanych r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych. Nast\u0119pnym razem pobawimy sie macierzami<\/p>\n<p align=\"left\">goto<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ka\u017cdy fizyk wie, \u017ce \u015bwiat dooko\u0142a naj\u0142atwiej opisa\u0107 r\u00f3wnaniem r\u00f3\u017cniczkowym. Reszta (&#8220;czyli wi\u0119kszo\u015b\u0107 pozostaj\u0105ca w opozycji&#8221;) zapewne nie wie, \u017ce wzory (np. na ruch wahade\u0142ka czy s\u0142ynnej masy na spr\u0119\u017cynce) wypisywane na \u015bci\u0105gach w liceum i wcze\u015bniej s\u0105 rozwi\u0105zaniami r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych opisuj\u0105cych dany problem. Z powy\u017cszego powodu (gloryfikacja r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych) chcia\u0142bym napisa\u0107 par\u0119 prostych przyk\u0142ad\u00f3w [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/37"}],"collection":[{"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=37"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/37\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=37"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=37"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/morony.pl\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=37"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}