Znalazłem dzisiaj za biurkiem zeszłoroczny egzamin z analizy I C. Postanowiłem się pobawić Mathematicą i porozwiązywać zadania nie wysilając własnej szarej komórki.

Ponieważ to część pierwsza przykłady będą banalne, ale dające ładne efekty 🙂

Poniżej podzielę sie wnioskami z rozwiązywania drugiego przykładu z piątego zadania za pomocą programu Mathematica. Zadanie da się rozwiązać od razu więc nadprogramowo się nim pobawimy (a co za tym idzie pobawimy się Mathematicą, a na tym najbardziej nam zależy).

Zadanie: należy obliczyć następującą granicę:

Nic prostszego! Na początek zdefiniujmy sobie funkcję, której granice będziemy liczyć:

In:= k[x_] = (Sin[x] – Tan[x])/(x (Cos[x] – 1))

Teraz możemy przeprowadzać różne operacje na tej funkcji. Policzmy granicę, o którą pytają nas w zadaniu:

In:= Limit[k[x], x -> 0]
Out:= 1

Jak widać granica tej funkcji przy x dążącym do zera wynosi 1.

Niby rozwiązaliśmy zadanie, ale mnie nadal ciekawi jak ta funkcja wygląda (te trygonometryczne zawsze są ładne). Narysujmy więc:

In:= Plot[k[x],{x,-2*Pi,2*Pi}]

Jako wynik otrzymujemy wykres:

Funkcja ładna, rzeczywiście dąży do 1 dla x dążącego do 0, ale wykres jeszcze nie bardzo. Poprawmy te pionowe krechy (poprzez wyłączenie punktów krytycznych z wykresu):

In:= Plot[k[x],{x,-2*Pi,2*Pi}, {Exclusions -> {Tan[x] == 0}}]

Otrzymujemy:

Już ładniej, ale zrobiło sie trochę “łyso”. Przydałyby się asymptoty:

In:= Plot[k[x],{x,-2*Pi,2*Pi}, {Exclusions -> {Tan[x] == 0}, ExclusionsStyle -> Dashing[Small]}]

Otrzymujemy:

Teraz otrzymaliśmy (przez zastosowanie dwóch opcji) bardzo ładny wykres funkcji z zadania.

Funkcje mające ładne wykresy mają zazwyczaj ładne pochodne. Ta nie jest wyjątkiem. Obliczamy pochodną funkcji po x:

In:= D[k[x],x]

Mathematica zwraca nam przepiękny wzór na pochodną naszej funkcji:

Który po uproszczeniu (polecenie Simplify[]) przyjmuje następującą postać:

sec to secans, czyli stosunek przeciwprostokątnej i przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego a więc odwrotność cosinusa.

Narysujmy sobie jeszcze tą pochodną:

In:= Plot[{(x Sec[x]^2 – Tan[x])/x^2}, {x, -2*Pi, 2*Pi}]

Otrzymany wykres wygląda następująco:

Ładny, prawda?

goto